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消費者福利分析

延續前述的內容，分析當商品相對價格改變後，不同的消費者偏好型態以及效用水準如何互動。而衡量效用水準的目的是量化價格變動對消費者造成的實際損益

消費者剩餘

當消費者在既定的商品價格與所得下，若其全部持有標準商品 \(y\) (即 \(p_y = 1\)) 而不購買任何 \(x\) 商品，則原效用水準為 \(U_0\)，如下圖 A 點。若此時消費者轉換商品組合至 B 點，亦即持有 \(x\) 與 \(y\) 兩商品的數量分別為 \(x_0\) 與 \(y_1\)，此時雖然其效用水準仍維持於 \(U_0\)，並願意支付 \(\overline{Ay_{1}}\) 的所得消費 \(x_0\) 單位的 \(x\) 商品，但實際上消費者之無異曲線與預算限制式相切之 E 點為最適點，此時效用可達 \(U_1\) 水準，較原先的效用水準高，顯示實際購買僅需支付 \(\overline{Ay_{0}}\) 即可消費相同數量的 \(x\) 商品。 因此消費者消費 \(x_0\) 數量之 \(x\) 商品，願付數額減去實付數額之差額即是消費者剩餘 (\(\overline{y_{0}y_{1}}\))，或可以理解為效用水準 \(U_1\) 減去 \(U_0\) 的差。

消費者剩餘
圖 1： 消費者剩餘

由上述對消費者剩餘的定義，可得在 \(x\) 價格未下跌下的消費者剩餘為 \(U_1 - U_0\)，下跌後的消費者剩餘為 \(U_2 - U_0\)，則 $$ U_2 - U_1 = (U_2 - U_0) - (U_1 - U_0) = CS_2 - CS_1 = \Delta CS $$ 表示不同價格下效用水準差額即為消費者剩餘的變動量。

消費者剩餘變動
圖 2： 消費者剩餘變動

對偶分析1

在分解價格效果的過程中，有時求算的是在預算限制之下，不同商品相對價格的最適選擇，有時限制則是來源於效用水準，此即消費者選擇理論之對偶性 (duality)。

效用極大化

根據效用極大化求得的最適消費組合即為 Marshall 需求函數，通常表示為 $$ x^{M} = x(p_x, p_y, M), \quad y^{M} = y(p_x, p_y, M) $$

將 Marshall 需求函數代入原效用函數，即可求出間接效用函數 (indirect utility function)： $$ V(p_x, p_y, M) = U\left(x^{M}, y^{M}\right) $$ 而間接效用函數經過以下運算可反推 Marshal 需求函數，此即 Roy's Identity： $$ x^{M} = -\dfrac{\dfrac{\partial V}{\partial p_x}}{\dfrac{\partial V}{\partial M}}, \quad y^{M} = -\dfrac{\dfrac{\partial V}{\partial p_y}}{\dfrac{\partial V}{\partial M}} $$

支出極小化

相對於效用極大化，消費者在選擇最適消費組合時，可以轉換為固定效用水準，使得其支出極小。而透過支出極小化求得的需求函數即為 Hicks 需求函數。 將 Hicks 需求函數代回目標函數 (即固定效用水準下的效用函數)，即可求得支出函數 (expenditure function)： $$ E(p_x, p_y, \bar{U}) = p_x x^{H}(p_x, p_y, \bar{U}) + p_y y^{H}(p_x, p_y, \bar{U}) $$ 由支出函數搭配 Shephard Lemma，可反推 Hicks 需求函數： $$ x^{H} = \dfrac{\partial E}{\partial p_x}, \quad y^{H} = \dfrac{\partial E}{\partial p_y} $$

對偶分析實際操作

將效用極大化與支出極小化兩個命題合併，可以得到兩者存在諸多重要的函數關係，如下圖所示：

對偶分析
圖 3： 對偶分析

  • 間接效用函數與支出函數：兩者互為反函數

  • 間接效用函數與 Marshall 需求函數：將間接效用函數代入 Hicks 需求函數的固定效用，即可得到 Marshall 需求函數

  • 支出函數與 Hicks 需求函數：將支出函數代入 Marshall 需求函數的所得，即可得到 Hicks 需求函數

補償變量與對等變量

補償變量與對等變量

  • 補償變量 (compensated variation, CV) 係在商品相對價格變動後，為能以變動後的相對價格維持變動前的效用水準，必須給予補償或扣除的數額。

  • 對等變量 (equivalent variation, EV) 係在商品相對價格變動後，為能以變動前的相對價格維持變動後的效用水準，必須給予補償或扣除的數額。

利用對偶分析所得出的函數關係，補償變量與對等變量可以表示為以下的數學形式：

\[ \begin{aligned} CV &= \int_{p_x^0}^{p_x^1} x^{H}|_{U_0} = \int_{p_x^0}^{p_x^1} \dfrac{\partial E}{\partial p_x}\Bigg|_{U_0} dp_x = |E(p_x^0, p_y^0, U_0) - E(p_x^1, p_y^0, U_0)|\\\\ EV &= \int_{p_x^0}^{p_x^1} x^{H}|_{U_1} = \int_{p_x^0}^{p_x^1} \dfrac{\partial E}{\partial p_x}\Bigg|_{U_1} dp_x = |E(p_x^0, p_y^0, U_1) - E(p_x^1, p_y^0, U_1)| \end{aligned} \]

以 \(x\) 商品價格下跌為例。原預算限制式 \(B_0\) 下選擇 A 點消費，當 \(x\) 價格下跌至預算限制式 \(B_2\) 時，消費者選擇 C 點消費，此時對名目所得加以扣除維持原本效用水準 \(U_0\)，可得預算限制式為 \(B_1\)，最適消費組合為 B 點。由此即可求出補償變量之大小，即圖中 \(p_x^0 ABp_x^1\) 圍成的面積。

若以原本相對價格對名目所得加以補償至變動後的效用水準 \(U_1\)，可得預算限制式為 \(B_3\)，最適消費組合為 D 點，由此可求出對等變量之大小，即圖中 \(p_x^0 DCp_x^1\) 圍成的面積。。

而由一般需求曲線可得，當 \(x\) 商品價格下跌後，消費者剩餘會額外增加 \(p_x^0 ACp_x^1\) 的面積，此即 \(x\) 商品價格下跌後的福利增量。

補償變量與對等變量
圖 4： 補償變量與對等變量

不過必須注意到，補償變量與對等變量的大小關係是不固定的，必須端視消費者偏好呈現的效用函數之型態，又或者是說消費者對於特定商品所呈現的消費行為是何種商品類型。但無論補償變量與對等變量之關係為何，消費者剩餘變動必定介於兩者之間。

補償變量與對等變量

延續替代效果一節例題實質所得不變對效用函數、所得與商品價格極其變動的假設，試回答下列問題：

  1. 利用效用極大化模型，求算 Marshall 需求函數、間接效用函數，並驗證 Roy's Identity。
  2. 利用支出極小化模型，求算 Hicks 需求函數、支出函數，並驗證 Shephard Lemma。
  3. 根據上述結果，求算補償變量、對等變量，以及消費者剩餘變動量。

  1. 對偶分析的證明與數學極為複雜，有興趣的讀者可自行參閱其他進階個體經濟學的書籍。 ↩