價格彈性

價格彈性 (price elasticity) 是經濟學中最基礎也最重要的彈性概念。它衡量當商品價格變化時數量的相對變化程度。若欲衡量某商品價格變動對於數量的影響，直覺而言會以 $\frac{\Delta Q}{\Delta p}$ (連續則以 $\frac{dQ}{dp}$)作為指標。

不過細究會發現，當使用此定義作為價格彈性指標，針對同一項商品衡量不同國家的價格彈性時會產生問題。由於各國貨幣單位不同，即使是相同的商品，其價格的絕對數值也會因匯率而有所差異。例如，同一瓶可樂在美國可能售價 $2，在台灣可能售價 NT$60，直接使用 $\frac{\Delta Q}{\Delta p}$ 會導致彈性值無法進行有意義的比較。

此外，即使在同一國家內，不同商品的價格水準也大不相同。奢侈品與日常用品的價格差距可能達到數百倍，使用絕對變化量來衡量彈性會失去經濟意義。

為了解決這個問題，經濟學家採用百分比變化的概念，將價格彈性定義為：

\[ \text{價格彈性} = \frac{\text{數量變動百分比}}{\text{價格變動百分比}} = \frac{\%\Delta Q}{\%\Delta p} \]

或者更精確地表示為：

\[ \varepsilon_p = \frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta p}{p}} = \frac{\Delta Q}{\Delta p} \cdot \frac{p}{Q} \]

若分析的對象為連續型需求函數，則可表示為

\[ \varepsilon_p = \frac{\frac{dQ}{Q}}{\frac{dP}{p}} = \frac{d Q}{dp} \cdot \frac{p}{Q} \]

這樣的定義使得價格彈性成為一個無單位的指標，不僅可以跨國比較，也可以在不同商品間進行有意義的比較分析。

點彈性與弧彈性

在實際應用價格彈性時，經濟學家面臨一個重要的技術問題：究竟應該以哪個價格和數量作為計算基準？這個看似簡單的問題，實際上關係到彈性測量的準確性和可比較性。為了解決這個問題，經濟學發展出兩種不同的計算方法：點彈性 (point elasticity) 與弧彈性 (arc elasticity)。

這兩種方法的差異在於計算基準的選擇。點彈性使用變化前的原始價格和數量作為基準，而弧彈性則使用變化前後的平均值作為基準。雖然這個差異看似微小，但在實際應用中會產生不同的數值結果，尤其是當價格變化幅度較大時。

點彈性

點彈性是以變化前的原始價格和數量作為計算基準的彈性測量方法。其公式為：

\[ \varepsilon_p = \frac{\frac{\Delta Q}{Q_1}}{\frac{\Delta p}{p_{1}}} = \frac{\Delta Q}{\Delta p} \cdot \frac{p_{1}}{Q_1} \]

其中 $p_1$ 和 $Q_1$ 分別為變化前的原始價格和數量，$\Delta P$ 和 $\Delta Q$ 分別為價格和數量的變化量。

點彈性的數學意義更為嚴謹，特別是在微分概念下。當價格變化趨近於零時，點彈性可以表達為：

\[ \varepsilon_p = \lim_{\Delta P \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta p} \cdot \frac{p}{Q} = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{p}{Q} \]

這個表達式說明了點彈性實際上是需求曲線在某特定點的切線斜率，再乘以該點的價格與數量比值。

弧彈性

弧彈性是以變化前後的平均價格和平均數量作為計算基準的彈性測量方法。在理解弧彈性的設計原理之前，我們先來看看如果不使用平均值會發生什麼問題。

假設我們天真地嘗試用變化前後數值的總和作為基準，彈性公式會變成：

\[ \varepsilon_{naive} = \frac{\frac{\Delta Q}{Q_1 + Q_2}}{\frac{\Delta p}{p_1 + p_2}} = \frac{\Delta Q}{\Delta p} \cdot \frac{p_1 + p_2}{Q_1 + Q_2} \]

這種做法會產生嚴重的計算偏誤。由於分母中的 $Q_1 + Q_2$ 和 $p_1 + p_2$ 是總和而非平均值，計算出的百分比變化會被人為地縮小一半。具體而言，若數量從 100 變化到 80，變化量為 -20，但如果以總和 180 作為基準，百分比變化會被錯誤地計算為 $\frac{-20}{180} = -11.1\%$，而實際的平均值基準應該是 $\frac{-20}{90} = -22.2\%$。

更嚴重的是，這種錯誤的計算方法會導致量綱不一致的問題。百分比變化的定義本身就是變化量除以原始量值，使用總和作為基準會違背百分比變化的基本數學定義，使得彈性失去其「無量綱」的重要特性。

因此，除以2的關鍵作用在於將總和轉換為平均值，確保計算出的百分比變化符合數學定義且具有經濟意義。正確的弧彈性公式為：

\[ \varepsilon_p = \frac{\frac{\Delta Q}{\frac{Q_1 + Q_2}{2}}}{\frac{\Delta p}{\frac{p_1 + p_2}{2}}} = \frac{\Delta Q}{\Delta p} \cdot \frac{\frac{p_1 + p_2}{2}}{\frac{Q_1 + Q_2}{2}} = \frac{\Delta Q}{\Delta p} \cdot \frac{p_1 + p_2}{Q_1 + Q_2} \]

其中 $p_1, Q_1$ 為變化前的價格和數量，$p_2, Q_2$ 為變化後的價格和數量。

弧彈性的設計理念是要避免因為選擇不同基準點而產生的估算偏誤。由於使用平均值作為基準，無論是從 $(p_1, Q_1)$ 變化到 $(p_2, Q_2)$，還是從 $(p_2, Q_2)$ 變化到 $(p_1, Q_1)$，計算出的弧彈性數值都會相同。

點彈性與弧彈性計算

某商品的需求資料如下：

當價格為 $\$20$ 時，需求量為 $100$ 單位
當價格上漲到 $\$24$ 時，需求量下降為 $80$ 單位

請分別計算：

以變化前後價格與為基準的點彈性
弧彈性
比較三種計算結果的差異

彈性計算區分

底下 $D_{1}$ 與 $D_{2}$ 兩條需求曲線為平行線的圖形中，A 點、B 點與 C 點三者需求價格彈性大小關係為何？
圖 1：固定斜率值，比較點的位置
下圖中 $E$ 點恰為三條需求曲線上之同一交點，則 $E$ 點位於哪個需求曲線上的需求價格彈性較大？
圖 2：固定點的位置，比較斜率值

需求價格彈性

需求價格彈性 (price elasticity of demand) 是衡量需求量對價格變化敏感程度的重要指標。當商品價格發生變化時，消費者的需求量會如何回應。想像你是一家咖啡店的老闆，正在考慮是否調漲咖啡價格。如果將一杯咖啡從 50 元調漲到 55 元 (漲幅10%) ，而顧客的購買量從每天 100 杯減少到 90 杯 (降幅 10%)，那麼咖啡需求價格彈性就是 1，意味著價格每上漲 1%，需求量就會下降 1%。

需求價格彈性的定義與計算

需求價格彈性

給定需求函數為 $Q^{d} = Q(p)$，則需求價格彈性定義為： $$ \varepsilon_{p}^{d} = - \frac{dQ^d}{dp} \cdot \frac{p}{Q^d} $$

需求價格彈性在理論計算中通常會得到負值，這是因為需求法則的存在：價格上升時需求量下降，價格下降時需求量上升。由於 $\frac{d Q^d}{d p} < 0$，所以彈性值自然為負。然而，在實際分析中，當我們說某商品的需求價格彈性為 1.5 時，比說 -1.5 更直觀：我們關心的是彈性的大小 (敏感程度)，而不是符號方向，因為需求法則已經告訴我們方向必然是負的。

需求價格彈性的分類

Table 1: 需求價格彈性分類
彈性數值	說明	圖形	典型例子
$\varepsilon_{p}^{d} = 0$	完全無彈性	垂直線	胰島素、食鹽
$0 < \varepsilon_{p}^{d} < 1$	無彈性	陡峭向下傾斜線	汽油、電力、基本食品
$\varepsilon_{p}^{d} = 1$	單位彈性	等軸雙曲線	理論中的特殊情況
$\varepsilon_{p}^{d} > 1$	富富有彈性	平緩向下傾斜線	奢侈品、娛樂用品
$\varepsilon_{p}^{d} = \infty$	完全彈性	水平線	完全競爭市場中的個別廠商需求

完全彈性

完全彈性 (perfectly elastic) 的彈性趨近於無窮大，或記成 $\varepsilon_{p}^{d} \to \infty$。在此情境下，價格為常數，因此價格變動的百分比為零。完全彈性之需求曲線為水平線，如下圖所示：

富有彈性

富有彈性 (elastic) 代表需求量變動百分比絕對值大於價格變動百分比絕對值。此時彈性大於 1。需求曲線平緩向下傾斜，如下圖所示：

單位彈性

單位彈性 (unit elastic) 係需求量變動百分比等於價格變動百分比，由此可推出單一彈性的需求函數，隱含消費者的總支出為固定額度。假設商品價格為 $p$，消費者需求量為 $Q^{d}$，固定支出為 $C$。因此可得： $$ p \cdot Q^{d} = C \Longleftrightarrow Q^{d} = c \cdot p^{-1} $$ 根據需求彈性的公式，可以求得需求彈性為 1。下圖即是單位彈性的需求函數，稱為正等軸雙曲線 (equilateral hyperbola)。

需求單位彈性

小宋每個月的所得固定，並支用三分之一的所得在飲食上。請求出他對食品、飲品的需求彈性。

無彈性

無彈性 (inelastic) 或稱缺乏彈性，其需求量變動百分比小於價格變動百分比。需求曲線陡峭向下傾斜，如下圖所示：

完全無彈性

完全無彈性 (perfectly inelastic) 代表無論價格為何，需求量皆為定數，亦即需求量不受價格變動的影響，因此需求量變動百分比為零。

供給價格彈性

供給價格彈性 (price elasticity of supply) 是衡量供給量對價格變化敏感程度的重要指標。當商品價格發生變化時，生產者的供給量會如何回應。想像你是一家服裝工廠的老闆，市場上T恤的價格從每件100元上漲到110元（漲幅10%）。如果你的工廠將每週產量從1000件增加到1200件（增幅20%），那麼T恤供給價格彈性就是2，意味著價格每上漲1%，供給量就會增加2%。了解供給價格彈性有助於預測市場供給的調整速度和幅度，這對制定生產計畫和投資決策都極為重要。

供給價格彈性的定義與計算

供給價格彈性

給定供給函數為 $Q^{s} = Q(p)$，則供給價格彈性定義為： $$ \varepsilon_s = \frac{dQ^s}{dp} \cdot \frac{p}{Q^s} $$

與需求價格彈性不同，供給價格彈性通常為正值，這符合供給法則：價格上升時供給量增加，價格下降時供給量減少。由於 $\frac{dQ^s}{dp} > 0$（供給曲線向右上傾斜），所以彈性值自然為正。

供給價格彈性為正值的原因在於利潤動機：價格上升提高了生產的潛在利潤，激勵生產者增加產量。這種正向關係反映了市場機制的資源配置功能——當某商品價格上升時，表明市場對該商品需求增加，價格信號引導更多資源流向該商品的生產。

供給價格彈性的分類

同理，供給彈性也可以分為以下五類：

Table 2: 供給價格彈性分類
彈性數值	說明	圖形	典型例子
$\varepsilon_s = 0$	完全無彈性	垂直線	土地、古董、短期農產品
$0 < \varepsilon_s < 1$	無彈性	陡峭向上傾斜線	重工業、電力、醫療服務
$\varepsilon_s = 1$	單位彈性	45度向上傾斜線	理論中的特殊情況
$\varepsilon_s > 1$	富有彈性	平緩向上傾斜線	服務業、勞動密集型產業
$\varepsilon_s = \infty$	完全彈性	水平線	完全競爭長期均衡

完全彈性

與需求彈性的情況類似，為一水平線。通常來說，水平供給曲線多出現在國際貿易探討小國面對外國進口的供給曲線。

富有彈性

富有彈性代表供給量變動百分比絕對值大於價格變動百分比絕對值。此時彈性大於 1。供給曲線平緩向上傾斜，如下圖所示：

單位彈性

單位彈性係供給量變動百分比等於價格變動百分比，此時彈性等於 1。供給曲線具有適中的斜率向上傾斜，如下圖所示：

供給單位彈性

為什麼單位彈性的需求線為曲線，而單位彈性的供給線卻為直線？

【解】

我們可以從彈性本身的定義來分析這個問題。首先，我們已經知道彈性的定義是「給定刺激下反應的程度」，因此價格彈性（無論是需求或供給，因此先不討論需求彈性要加上負號的情況）用數學的方式寫下來則是： $$ \varepsilon_p = \frac{dQ}{Q} / \frac{dP}{P} $$ 我們可以將上面的形式改寫一下： $$ \varepsilon_p = \frac{P}{Q} / \frac{dP}{dQ} $$ 假設我們令函數為 $P = aQ$，其中 $dP/dQ = a$，因此代入上面的算法可以得到： $$ \varepsilon_p = \frac{aQ}{Q} / \frac{dP}{dQ} = a/a = 1 $$ 可以得出如果彈性為 1 時，函數必須為通過原點的直線。但如果令函數為 $P = aQ + c$，代入後得到 $$ \varepsilon_p = \frac{aQ + c}{Q} / \frac{dP}{dQ} = \frac{\frac{aQ + c}{Q}}{a} = 1 + \frac{c/a}{Q} $$ 由於一般的需求函數為負斜率，代表有截距且不通過原點，因此價格的需求彈性為 1 時，需求函數一定是正等軸雙曲線。

無彈性

無彈性其供給量變動百分比小於價格變動百分比。供給曲線陡峭向上傾斜，如下圖所示：

完全無彈性

完全無彈性代表無論價格為何，供給量皆為定數，亦即供給量不受價格變動的影響，因此供給量變動百分比為零。完全無彈性之供給曲線為垂直線，如下圖所示：

彈性數值	說明	圖形	典型例子
\(\varepsilon_{p}^{d} = 0\)	完全無彈性	垂直線	胰島素、食鹽
\(0 < \varepsilon_{p}^{d} < 1\)	無彈性	陡峭向下傾斜線	汽油、電力、基本食品
\(\varepsilon_{p}^{d} = 1\)	單位彈性	等軸雙曲線	理論中的特殊情況
\(\varepsilon_{p}^{d} > 1\)	富富有彈性	平緩向下傾斜線	奢侈品、娛樂用品
\(\varepsilon_{p}^{d} = \infty\)	完全彈性	水平線	完全競爭市場中的個別廠商需求

彈性數值	說明	圖形	典型例子
\(\varepsilon_s = 0\)	完全無彈性	垂直線	土地、古董、短期農產品
\(0 < \varepsilon_s < 1\)	無彈性	陡峭向上傾斜線	重工業、電力、醫療服務
\(\varepsilon_s = 1\)	單位彈性	45度向上傾斜線	理論中的特殊情況
\(\varepsilon_s > 1\)	富有彈性	平緩向上傾斜線	服務業、勞動密集型產業
\(\varepsilon_s = \infty\)	完全彈性	水平線	完全競爭長期均衡