聯立方程式的求解
當線性方程組滿秩 (行列式非零) 時，Cramer 法則給出閉式解，方便比較靜態與符號分析。
Cramer 法則
考慮 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)，其中 \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\)、\(\det(A)\neq 0\)。記 \(A_i(\mathbf{b})\) 為以 \(\mathbf{b}\) 取代 \(A\) 的第 \(i\) 欄所得矩陣，則 $$ x_i \;=\; \frac{\det!\big(A_i(\mathbf{b})\big)}{\det(A)},\qquad i=1,\dots,n. $$
\(2 \times 2\) 範例
$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\ x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1\ b_2
\end{bmatrix},
\quad
\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0.
$$
\[
x_1=\frac{\det\!\begin{bmatrix} b_1 & a_{12}\\ b_2 & a_{22}\end{bmatrix}}{\det(A)},
\qquad
x_2=\frac{\det\!\begin{bmatrix} a_{11} & b_1\\ a_{21} & b_2\end{bmatrix}}{\det(A)}.
\]
經濟應用：
- 局部線性化後的一階條件可寫成 \(A\,d\mathbf{x}=\mathbf{b}\)，用 Cramer 法則觀察 \(d\mathbf{x}\) 的符號與參數依賴。
- 兩市場兩方程的比較靜態、投入產出模型的局部分析。
用 Cramer 法則求解比較靜態
聯立
\[
\begin{cases}
2p+q=10\\\\
-\,p+3q=5
\end{cases}
\]
- 求 \((p,q)\)。
- 若常數項向量改為 \((10+\delta,\,5)\)，用 Cramer 法則寫出 \(dp/d\delta,\, dq/d\delta\)。