現值與未來值

以利率 $r$ 為貼現率，時間價值可用離散/連續複利表示；年金、成長年金與永續年金皆有封閉解。

單筆金額的現值與未來值 (離散/連續)

離散複利 (每期利率 $r$、$n$ 期) ： $$ FV = PV\,(1+r)^n, \qquad PV = \frac{FV}{(1+r)^n}. $$ 連續複利 (連續利率 $r$、時間 $t$) ： $$ FV = PV\,e^{rt}, \qquad PV = FV\,e^{-rt}. $$

等額年金與永續年金 (離散時間)

等額年金 (每期收 $A$，共 $N$ 期) ： $$ PV_{\text{annuity}} = A\,\frac{1-(1+r)^{-N}}{r}, \qquad FV_{\text{annuity}} = A\,\frac{(1+r)^N-1}{r}. $$

成長年金 (首期 $A_1$、成長率 $g$，$r\neq g$) ： $$ PV_{\text{g-annuity}} = A_1\,\frac{1-\big(\tfrac{1+g}{1+r}\big)^N}{\,r-g\,}. $$

永續年金： $$ PV_{\text{perp}}=\frac{A}{r}, \qquad PV_{\text{g-perp}}=\frac{A_1}{\,r-g\,}\ \ (r>g). $$

NPV 與貼現因子：

NPV：$\text{NPV}=\sum_{t=0}^N \frac{C_t}{(1+r)^t}$
設貼現因子 $\beta=\dfrac{1}{1+r}$，則 $\text{NPV}=\sum_{t=0}^N \beta^t C_t$
連續時間：$PV=\int_0^T f(t)e^{-rt}\,dt$

年金與投資決策

給定 $A=100$、$r=5\%$、$N=10$，求 $PV_{\text{annuity}}$ 與 $FV_{\text{annuity}}$。
一專案現金流 $C_0=-800,\ C_1=\cdots=C_5=200$；$r=8\%$，計算 NPV 並判斷是否投資。
連續收入流 $f(t)=\alpha e^{gt}$ ($0\le t\le T$) ，$r>g$，求其現值。