偏微分

在現實的經濟決策中，我們很少面對只有單一變數的簡單情況。想像一位餐廳經理正在制定下個月的營運策略：他需要同時考慮食材成本、員工薪資、租金、廣告支出等多個因素對獲利的影響。當食材成本上漲10%時，在其他條件不變的情況下，獲利會如何變化？當他決定增加廣告預算時，假設其他成本維持不變，營收又會如何響應？這種「其他條件不變」的分析方式，正是偏微分的核心概念。

在經濟學中，偏微分被廣泛應用於分析多變數經濟函數，比如消費者面對多種商品的效用最大化問題、廠商在多種投入要素下的成本最小化問題，以及政府在考慮多種政策工具時的社會福利最大化問題。偏微分讓我們能夠在複雜的多變數環境中，分離並量化單一變數變化的純淨效應，這種「控制其他變數」的分析能力是現代經濟學不可或缺的核心技能。

偏微分的定義

對於多變數函數 \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\)，偏微分 (partial differentiation) 研究函數對其中一個變數的變化率，同時保持其他變數不變。

偏導數

函數 \(f(x, y)\) 對 \(x\) 的偏導數定義為： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} $$

類似地，對 \(y\) 的偏導數為： $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h} $$

偏微分的計算法則

偏微分的計算與一般微分類似，只需將其他變數視為常數：

Example

\(f(x, y) = x^3 + 2x^2y + y^2\)

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 4xy, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2 + 2y \]

經濟學中的偏微分應用

邊際效用

對於效用函數 \(U(x_1, x_2.\)，各商品的邊際效用為： $$ MU_1 = \frac{\partial U}{\partial x_1}, \quad MU_2 = \frac{\partial U}{\partial x_2} $$

Cobb-Douglas 效用函數

\(U(x_1, x_2. = x_1^{\alpha} x_2^{\beta}\)

\[ \begin{aligned} MU_1 &= \alpha x_1^{\alpha-1} x_2^{\beta} = \alpha \frac{U}{x_1}\\ MU_2 &= \beta x_1^{\alpha} x_2^{\beta-1} = \beta \frac{U}{x_2} \end{aligned} \]

邊際替代率

邊際替代率 (Marginal Rate of Substitution, MRS) 衡量消費者願意用一種商品替代另一種商品的比率： $$ MRS_{12} = -\frac{MU_1}{MU_2} = -\frac{\partial U/\partial x_1}{\partial U/\partial x_2} $$

生產函數的邊際產品

對於生產函數 \(Q = f(K, L)\)：

邊際產品： $$ MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K}, \quad MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} $$

邊際技術替代率 (Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS)： $$ MRTS_{LK} = -\frac{MP_L}{MP_K} = -\frac{\partial Q/\partial L}{\partial Q/\partial K} $$

彈性的偏微分表示

需求價格彈性： $$ \varepsilon_p = \frac{\partial Q^d}{\partial p} \cdot \frac{p}{Q^d} $$

需求所得彈性： $$ \varepsilon_M = \frac{\partial Q^d}{\partial M} \cdot \frac{M}{Q^d} $$

需求交叉彈性： $$ \varepsilon_{xy} = \frac{\partial Q_x^d}{\partial p_y} \cdot \frac{p_y}{Q_x^d} $$

高階偏導數

二階偏導數

對於函數 \(f(x, y)\)，存在四個二階偏導數：

1. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx}\)：對 \(x\) 的二階偏導數
2. \(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy}\)：對 \(y\) 的二階偏導數
3. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{xy}\)：混合偏導數
4. \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{yx}\)：混合偏導數

Hessian 矩陣

Hessian 矩陣是二階偏導數組成的矩陣： $$ H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} $$

Hessian 矩陣用於判定函數的凹凸性和極值性質。

Young 定理

在多變數微積分中，Young 定理保證了「混合偏導數」在適當條件下可交換，這對稱性使得 Hessian 矩陣可以視為對稱矩陣，進而簡化最適化與比較靜態分析。

Young 定理

設 \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)，若 \(f_{x_i x_j}\) 與 \(f_{x_j x_i}\) 在一開集 \(U\) 上存在且連續 (或更弱的條件如在該點鄰域可微且二階偏導在該點連續) ，則對所有 \((x_1,\dots,x_n)\in U\)， $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \;=\; \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}. $$

經濟學意義：

• Hessian 矩陣 \(H_f\) 可視為對稱：\(H_f = H_f^\top\)。
• 在效用/生產/成本等函數的二階分析、二階充分條件與泰勒展開時，公式更簡潔。
• 對於需求系統的整合性 (integrability) 與潛在函數存在性，有助於檢驗一致性。

偏微分計算

給定效用函數 \(U(x, y) = x^{0.4} y^{0.6}\)，價格分別為 \(p_x = 2\)，\(p_y = 3\)，所得為 \(M = 120\)。

1. 計算兩商品的邊際效用 \(MU_x\) 和 \(MU_y\)
2. 求邊際替代率 \(MRS_{xy}\)
3. 在均衡點，\(MRS_{xy} = p_x/p_y\)，求均衡消費組合
4. 驗證預算約束是否滿足

檢查混合偏導是否可交換

令 \(f(x,y)=x^2y+e^{xy}\)。
1. 計算 \(f_{xy}\) 與 \(f_{yx}\)。
2. 說明為何在 \(\mathbb{R}^2\) 內它們必然相等。

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