最適化
等式約束下的最適化可透過 Lagrangian 將約束內生化，FOC 給出必要條件；在凹性/凸性假設下亦為充分。
等式約束最大化的 Lagrangian 與 FOC
問題： $$ \max_{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n}\ f(\mathbf{x}) \quad\text{s.t.}\quad g_j(\mathbf{x})=c_j,\ \ j=1,\dots,m. $$ Lagrangian： $$ \mathcal{L}(\mathbf{x},\boldsymbol{\lambda}) = f(\mathbf{x})+\sum_{j=1}^m \lambda_j\,[\,c_j-g_j(\mathbf{x})\,]. $$ FOC (必要條件) ： $$ \nabla_{\mathbf{x}}\mathcal{L} =\nabla f(\mathbf{x})-\sum_{j=1}^m \lambda_j \nabla g_j(\mathbf{x})=\mathbf{0}, \qquad g_j(\mathbf{x})=c_j\ \ (j=1,\dots,m). $$
充分性 (常見情形) ：
- 若 \(f\) 嚴格凹且可行集為非空的仿射子集 (等式約束線性獨立) ，則解唯一。
- 對極小化與凸性假設類推；不等式約束則升級為 KKT 條件 (此處略) 。
經濟詮釋 (影子價格) ：
- 乘數 \(\lambda_j\) 為約束 \(g_j(\mathbf{x})=c_j\) 的影子價格：放鬆 \(c_j\) 一小單位帶來的最適值變化率。
- 由包絡定理得 \(\dfrac{\partial V}{\partial c_j}=\lambda_j^*\)。
效用最大化的 Lagrangian
令效用極大化問題為：
$$
\begin{aligned}
\max\;& U(x_1,x_2) = x_1^{\alpha}x_2^{1-\alpha}\\
\text{s.t. }\;& p_1x_1+p_2x_2=M
\end{aligned}
$$
1. 寫出 Lagrangian 並推導 FOC。
2. 求最適需求 \((x_1^*,x_2^*)\)。
3. 說明 \(\lambda^*\) 的經濟意義。