極限與連續性

當你在網路購物平台比較不同商品的價格時，是否注意到某些商品之間似乎存在著完美的替代關係，而另一些商品則必須搭配使用才有意義？比如說，對大多數消費者而言，可口可樂和百事可樂幾乎可以完全互相替代——當其中一種漲價時，消費者很容易轉向另一種，這種近乎完美的替代關係在數學上可以用特殊的函數形式來描述。相反地，左腳鞋和右腳鞋、汽車和汽油、電腦和軟體等商品組合，則展現出強烈的互補特性——缺少其中任何一樣，另一樣的價值就會大打折扣。

這些看似簡單的日常觀察，在數學上涉及函數在極限情況下的行為特性。透過研究函數在參數趨向特定數值時的極限行為，我們可以理解從一般性的替代彈性函數，如何推導出完全替代和完全互補這兩種極端但重要的特殊情況。

極限的基本概念

極限 (limit) 是微積分的核心概念，描述函數在某點附近的行為趨勢。在經濟學中，極限概念幫助我們理解經濟變數在極端情況下的表現。

函數極限

設函數 \(f(x)\) 在點 \(a\) 的某個去心鄰域內有定義，若存在實數 \(L\)，使得對任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，當 \(0 < |x - a| < \delta\) 時，有 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)，則稱： $$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$

經濟學中的極限應用

邊際概念

經濟學中的邊際 (marginal) 概念本質上就是極限：

邊際效用： $$ MU = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta U}{\Delta x} = \frac{dU}{dx} $$

邊際成本： $$ MC = \lim_{\Delta Q \to 0} \frac{\Delta C}{\Delta Q} = \frac{dC}{dQ} $$

邊際產品： $$ MP_L = \lim_{\Delta L \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta L} = \frac{\partial Q}{\partial L} $$

CES 函數與特殊情況

常替代彈性 (Constant Elasticity of Substitution, CES) 函數是經濟學中描述生產技術和消費偏好的重要工具。

CES 函數的一般形式

CES 函數的標準形式為： $$ f(x_1, x_2. = A[ax_1^{-\rho} + (1-a)x_2^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}} $$

其中：

• \(A > 0\)：效率參數
• \(0 < a < 1\)：分配參數
• \(\rho > -1\)：替代參數

替代彈性 (elasticity of substitution) 定義為： $$ \sigma = \frac{1}{1 + \rho} $$

極限推導特殊情況

CES 函數的強大之處在於，通過讓替代參數 \(\rho\) 趨向不同的極限值，可以得到許多重要的特殊函數形式。

完全替代

當 \(\rho \to -1\) 時： $$ \lim_{\rho \to -1} A[ax_1^{-\rho} + (1-a)x_2^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}} = A[ax_1 + (1-a)x_2] $$

這就是線性函數，表示兩種投入要素或消費品可以完全替代。

推導過程： $$ \begin{aligned} &\lim_{\rho \to -1} [ax_1^{-\rho} + (1-a)x_2^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}} \ &= \lim_{\rho \to -1} [ax_1^{1+\rho} + (1-a)x_2^{1+\rho}]^{\frac{1}{1+\rho}} \ &= ax_1 + (1-a)x_2 \end{aligned} $$

Cobb-Douglas

當 \(\rho \to 0\) 時，需要使用 L'Hôpital 法則： $$ \lim_{\rho \to 0} A[ax_1^{-\rho} + (1-a)x_2^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}} = Ax_1^a x_2^{1-a} $$

這就是著名的Cobb-Douglas 函數。

推導過程： 令 \(g(\rho) = [ax_1^{-\rho} + (1-a)x_2^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}}\)

取對數： $$ \ln g(\rho) = -\frac{1}{\rho} \ln[ax_1^{-\rho} + (1-a)x_2^{-\rho}] $$

當 \(\rho \to 0\) 時，分子分母皆趨向 0，使用洛必達法則： $$ \lim_{\rho \to 0} \ln g(\rho) = a \ln x_1 + (1-a) \ln x_2 = \ln(x_1^a x_2^{1-a}) $$

因此： $$ \lim_{\rho \to 0} g(\rho) = x_1^a x_2^{1-a} $$

完全互補

當 \(\rho \to +\infty\) 時： $$ \lim_{\rho \to +\infty} A\,[ax_1^{-\rho} + (1-a)x_2^{-\rho}]^{-\tfrac{1}{\rho}} = A \min\big\lbrace \tfrac{x_1}{a}, \tfrac{x_2}{1-a}\big\rbrace $$

這就是Leontief 函數或完全互補函數。

CES 函數極限

給定 CES 效用函數： $$ U(x_1, x_2. = [0.6x_1^{-0.5} + 0.4x_2^{-0.5}]^{-2} $$

1. 計算替代彈性 \(\sigma\)
2. 說明此函數相對於 Cobb-Douglas 函數的替代特性
3. 若 \(x_1 = x_2 = 10\)，計算效用值

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