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積分

想像你是一位老闆，正在評估今年的營運表現。每個月的利潤都不相同：1月賺了5萬，2月因為春節假期只賺2萬，3月景氣回升賺了8萬⋯⋯。要計算全年總利潤，你需要將每個月的利潤「累積」起來。這個累積的過程，在數學上就是積分的概念。

更進一步地，如果你想計算消費者從某個商品獲得的總效用，你需要將每一單位消費帶來的邊際效用加總起來；如果你想知道在某個價格區間內的消費者剩餘，你需要計算需求曲線下方的面積。積分不僅是微分的逆運算，更是經濟學中計算「總量」概念的重要工具。從消費者剩餘、生產者剩餘的計算，到現值分析中的連續複利計算，再到經濟成長模型中的動態分析，積分在經濟學的各個領域都扮演著關鍵角色。

積分的基本概念

積分 (integration) 是微分的逆運算，用於計算函數下方的面積或累積變化量。在經濟學中，積分常用於從邊際量計算總量。

不定積分

若 \(F^{\prime}(x) = f(x)\)，則稱 \(F(x)\) 為 \(f(x)\) 的一個原函數 (primitive function) 或反導數 (antiderivative)。\(f(x)\) 的所有原函數稱為不定積分，記作： $$ \int f(x) \, dx = F(x) + C $$ 其中 \(C\) 為積分常數。

定積分

函數 \(f(x)\) 在區間 \([a, b]\) 上的定積分定義為： $$ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x $$ 其中 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\)，\(x_i = a + i \Delta x\)。

根據微積分基本定理： $$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$ 其中 \(F(x)\) 為 \(f(x)\) 的任一原函數。

基本積分公式

常用積分公式

  1. 冪函數：\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (\(n \neq -1\))
  2. 倒數函數：\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
  3. 指數函數：\(\int e^x \, dx = e^x + C\)，\(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
  4. 對數函數：\(\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C\)

積分技巧

分部積分法

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

換元積分法

若 \(x = g(t)\)，則： $$ \int f(x) \, dx = \int f(g(t)) g^{\prime}(t) \, dt $$

經濟學中的積分應用

消費者剩餘的計算

對於需求函數 \(p = p(Q)\)，在市場價格 \(p^*\) 下，消費者剩餘為：

\[ CS = \int_0^{Q^{*}} p(Q) \, dQ - p^* \cdot Q^* \]

積分應用：消費者剩餘

給定線性需求函數 \(p = 100 - 2Q\)。在市場價格 \(p^* = 60\) 時，均衡數量 \(Q^* = 20\)： $$ \begin{aligned} CS &= \int_0^{20} (100 - 2Q) \, dQ - 60 \times 20\\ &= \left[100Q - Q^2\right]_0^{20} - 1200 = 2000 - 400 - 1200 = 400 \end{aligned} $$

生產者剩餘的計算

對於供給函數 \(p = p(Q)\)，在市場價格 \(p^*\) 下，生產者剩餘為：

\[ PS = p^* \cdot Q^* - \int_0^{Q^*} p(Q) \, dQ \]

積分應用：生產者剩餘

給定線性供給函數 \(p = 10 + Q\)。在市場價格 \(p^* = 60\) 時，均衡數量 \(Q^* = 50\)： $$ \begin{aligned} PS &= 60 \times 50 - \int_0^{50} (10 + Q) \, dQ\\ &= 3000 - \left[10Q + \frac{Q^2}{2}\right]_0^{50} = 3000 - (500 + 1250) = 1250 \end{aligned} $$

現值計算中的積分

對於連續現金流 \(f(t)\)，在利率 \(r\) 下的現值為： $$ PV = \int_0^T f(t) e^{-rt} \, dt $$

例子：永續年金現值

若每年收到固定現金流 \(A\)，利率為 \(r\)： $$ PV = \int_0^{\infty} A e^{-rt} \, dt = A \left[-\frac{1}{r} e^{-rt}\right]_0^{\infty} = \frac{A}{r} $$

積分應用：現值計算

某商品的需求函數為 \(Q^d = 50 - p^2\)，供給函數為 \(Q^s = 2p - 10\)。

  1. 求市場均衡點 \((p^*, Q^*)\)
  2. 計算消費者剩餘
  3. 計算生產者剩餘
  4. 求總社會福利 (消費者剩餘 + 生產者剩餘)