函數
想像你正站在便利商店前，看著貨架上各式各樣的飲料，從10元的礦泉水到120元的進口果汁，每種商品都有其獨特的價格。此時你心中可能會想：「這些價格是如何決定的？」、「為什麼同樣是飲料，價格差異如此之大？」這些看似簡單的日常觀察，實際上隱含著複雜的經濟關係。
在經濟學中，我們用數學函數來描述這些關係——價格如何影響需求量、成本如何影響供給量、收入如何影響消費選擇等。函數不僅是數學工具，更是理解經濟現象的鑰匙，幫助我們建立精確的模型來預測和解釋市場行為。
函數的基本概念
在經濟學中，函數 (function) 是描述變數之間關係的數學工具。對於函數 \(f: X \rightarrow Y\)，我們稱 \(X\) 為定義域 (domain)，\(Y\) 為值域 (range)。經濟學中最常見的函數形式包括：
- 需求函數：\(Q^d = Q^{d}(p, p_y, M\ldots)\)
- 供給函數：\(Q^s = Q^{s}(p, w, r, T, \ldots)\)
- 生產函數：\(Q = F(K, L)\)
- 效用函數：\(U = u(x_1, x_2, \ldots, x_n)\)
齊次函數
現代生活中，我們經常遇到「規模」的概念：當你的收入翻倍時，是否會購買兩倍的商品？當一家公司將所有生產要素都增加一倍時，產量會如何變化？這些問題涉及的正是經濟學中極為重要的齊次函數概念。 想像一個小型麵包店，老闆雇用了2名員工，使用1台烤箱，每天能生產100個麵包。如果老闆決定擴大經營規模，雇用4名員工並購買2台烤箱 (即所有投入要素都增加一倍) ，那麼每天的麵包產量會是多少呢？可能是200個 (規模報酬不變) 、超過200個 (規模報酬遞增) ，或是少於200個 (規模報酬遞減) 。齊次函數正是用來描述這種規模變化與產出變化之間關係的數學工具，它不僅能幫助我們理解生產規模效應，更是分析消費者偏好、成本結構和市場結構的重要基礎。
齊次函數的定義
齊次函數 (homogeneous function) 是指當所有自變數同時乘以一個正常數 \(t\) 時，函數值會按照某個固定比例變化的函數。
齊次函數
函數 \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) 稱為 \(k\) 次齊次函數，若對所有 \(t > 0\) 均滿足： $$ f(tx_1, tx_2, \ldots, tx_n) = t^k f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $$ 其中 \(k\) 稱為齊次度 (degree of homogeneity)。
齊次函數的分類
根據齊次度 \(k\) 的不同取值，齊次函數可分為：
- \(k = 1\)：一次齊次函數 (linearly homogeneous)，表示規模報酬不變
- \(k > 1\)：表示規模報酬遞增
- \(0 < k < 1\)：表示規模報酬遞減
- \(k = 0\)：零次齊次函數，表示函數值與變數規模無關
經濟學中的齊次函數應用
生產函數中的規模報酬
生產函數 \(Q = f(K, L)\) 的齊次性決定了企業的規模報酬特性：
例子：Cobb-Douglas 生產函數 $$ Q = AK^{\alpha}L^{\beta} $$
檢驗齊次性： $$ f(tK, tL) = A(tK)^{\alpha}(tL)^{\beta} = At^{\alpha + \beta}K^{\alpha}L^{\beta} = t^{\alpha + \beta}f(K, L) $$
因此，此函數為 \((\alpha + \beta)\) 次齊次函數：
- \(\alpha + \beta = 1\)：規模報酬不變
- \(\alpha + \beta > 1\)：規模報酬遞增
- \(\alpha + \beta < 1\)：規模報酬遞減
需求函數中的所得同質性
消費者的需求函數經常表現出零次齊次性質。當所有價格和所得同時以相同比例變化時，實質購買力不變，因此需求量也不變：
這個性質稱為貨幣幻覺的缺失 (absence of money illusion)。
歐拉定理
歐拉定理
若函數 \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) 為 \(k\) 次齊次函數且可微，則： $$ \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = k f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $$
歐拉定理在經濟學中有重要應用。對於一次齊次生產函數，若要素按邊際產品付酬： $$ K \cdot MP_K + L \cdot MP_L = Q $$
代表總產值恰好等於各要素報酬的總和，不會有剩餘或不足。
齊次函數辨識
判斷下列函數的齊次度：
- \(f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2\)
- \(g(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- \(h(x, y) = \frac{xy}{x + y}\)
- \(u(x, y) = \frac{x^{\alpha}y^{\beta}}{x^{\gamma} + y^{\delta}}\)，其中 \(\alpha + \beta = \gamma = \delta\)
凹函數與凸函數
你是否曾思考過為什麼「多元化投資」會被廣泛推薦？為什麼經濟學家認為消費者通常偏好商品組合的多樣性，而非將所有預算都花在單一商品上？這些現象背後的數學原理正是函數的凹凸性。想像你今天有100元預算，可以選擇全部買咖啡、全部買蛋糕，或是各買一半。
根據經驗，大多數人會選擇混合消費，因為這樣能獲得更高的滿足感——這正反映了效用函數的凹性質。相反地，在生產活動中，企業的成本函數通常呈現凸性質：當產量增加時，邊際成本往往遞增，這就是為什麼大規模生產雖然有規模經濟效益，但超過某個臨界點後，擴產的邊際成本會急劇上升。凹函數與凸函數的概念不僅是數學工具，更是理解消費者偏好、生產技術和風險態度的重要基礎。
凹函數與凸函數的定義
凹函數 (concave function) 和凸函數 (convex function) 描述了函數圖形的彎曲方向。
凹函數與凸函數
對於定義在凸集合上的函數 \(f(x)\)：
凹函數：對所有 \(x_1, x_2\) 在定義域內，且 \(\lambda \in [0,1]\)，滿足： $$ f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2. \geq \lambda f(x_1. + (1-\lambda) f(x_2. $$
凸函數：對所有 \(x_1, x_2\) 在定義域內，且 \(\lambda \in [0,1]\)，滿足： $$ f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2. \leq \lambda f(x_1. + (1-\lambda) f(x_2. $$
若不等式為嚴格不等式，則稱為嚴格凹函數或嚴格凸函數。
二階導數判定法
對於二次可微函數：
- 若 \(f^{\prime\prime}(x) < 0\)，則 \(f(x)\) 為凹函數
- 若 \(f^{\prime\prime}(x) > 0\)，則 \(f(x)\) 為凸函數
對於多變數函數，使用 Hessian 矩陣判定：
- 若 Hessian 矩陣負定，則函數為凹函數
- 若 Hessian 矩陣正定，則函數為凸函數
Jensen 不等式
Jensen 不等式
Jensen 不等式是凹凸函數的重要性質：
對於凹函數 \(f(x)\) 和隨機變數 \(X\)： $$ f(\mathbb{E}[X]) \geq \mathbb{E}[f(X)] $$
對於凸函數 \(f(x)\) 和隨機變數 \(X\)： $$ f(\mathbb{E}[X]) \leq \mathbb{E}[f(X)] $$
其中 \(\mathbb{E}[\cdot]\) 表示期望值運算。
Jensen 不等式在經濟學中非常常見：
風險偏好與效用函數
風險趨避者的效用函數通常為凹函數。對於收入的不確定性： $$ U(\mathbb{E}[Y]) > \mathbb{E}[U(Y)] $$
這表示確定收入的效用大於相同期望值隨機收入的期望效用，解釋了為什麼人們願意購買保險。
投資組合理論
在投資決策中，若投資者效用函數為凹函數，Jensen 不等式說明了分散投資的優勢： $$ U\left(\sum_{i=1}^n w_i r_i\right) > \sum_{i=1}^n w_i U(r_i) $$
其中 \(w_i\) 為投資權重，\(r_i\) 為各資產報酬率。
凹凸函數在經濟學中的應用
效用函數的凹性
消費者效用函數通常假設為凹函數，反映邊際效用遞減法則： $$ U^{\prime\prime}(x) < 0 $$
代表額外消費一單位商品帶來的滿足感會隨著消費量增加而遞減。
成本函數的凸性
企業的成本函數通常為凸函數，特別是在短期內： $$ C^{\prime\prime}(Q) > 0 $$
這反映了邊際成本遞增法則：當產量增加時，額外生產一單位商品的成本會遞增。
凹凸性判定
判斷下列函數的凹凸性：
- 效用函數：\(U(x, y) = x^{0.3}y^{0.7}\)
- 成本函數：\(C(Q) = 10 + 5Q + 2Q^2\)
- 生產函數：\(F(K, L) = K^{0.4}L^{0.5}\)
- 需求函數：\(p = 100 - 2Q - Q^2\)