微分

站在經濟學的角度思考，當你每天早上路過同一家咖啡店時，是否曾好奇老闆如何決定咖啡的最佳價格？價格訂得太高，顧客可能會流失；訂得太低，雖然銷量增加但獲利可能下降。這個看似簡單的定價決策，實際上涉及複雜的邊際分析——老闆需要找到邊際收益等於邊際成本的那個精確點。微分正是幫助我們找到這個最佳決策點的數學工具。

從消費者角度來看，當你決定是否多買一個甜甜圈時，你的大腦其實在進行一種直觀的邊際效用計算：這額外的甜甜圈能帶來多少滿足感？是否值得它的價格？微分讓我們能夠精確量化這些「邊際變化」，無論是邊際效用、邊際成本、邊際收益，還是邊際產品，都是透過微分概念來定義和計算的。掌握微分技巧，就如同掌握了經濟分析的瑞士刀，能夠解剖各種複雜的經濟現象。

導數的定義與經濟意義

導數 (derivative) 描述函數在某點的瞬間變化率，在經濟學中對應邊際 (marginal) 概念。

導數定義

函數 $f(x)$ 在點 $x = a$ 的導數定義為： $$ f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$

若此極限存在，則稱函數在點 $a$ 可微 (differentiable)。

邊際概念在經濟學中的應用

邊際效用 (Marginal Utility)

對於效用函數 $U(x)$，邊際效用定義為： $$ MU(x) = \frac{dU}{dx} $$

邊際效用衡量額外消費一單位商品所增加的效用。根據邊際效用遞減法則： $$ \frac{d^2U}{dx^2} < 0 $$

邊際成本 (Marginal Cost)

對於總成本函數 $C(Q)$，邊際成本為： $$ MC(Q) = \frac{dC}{dQ} $$

邊際成本表示額外生產一單位產品的成本增加量。

邊際收益 (Marginal Revenue)

對於總收益函數 $R(Q) = p(Q) \cdot Q$，邊際收益為： $$ MR(Q) = \frac{dR}{dQ} = p(Q) + Q \frac{dp}{dQ} $$

微分法則

經濟分析中常用的微分法則包括：

基本微分法則

常數法則：$(c)^{\prime} = 0$
冪函數法則：$(x^n)^{\prime} = nx^{n-1}$
指數函數法則：$(e^x)^{\prime} = e^x$，$(a^x)^{\prime} = a^x \ln a$
對數函數法則：$(\ln x)^{\prime} = \frac{1}{x}$，$(\log_a x)^{\prime} = \frac{1}{x \ln a}$

運算法則

加減法則：$(f \pm g)^{\prime} = f^{\prime} \pm g^{\prime}$
乘積法則：$(fg)^{\prime} = f^{\prime}g + fg^{\prime}$
商的法則：$\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime} = \frac{f^{\prime}g - fg^{\prime}}{g^2}$
鏈式法則：$(f(g(x)))^{\prime} = f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$

經濟函數的微分應用

需求函數的微分

考慮線性需求函數 $Q^d = a - bp$： $$ \frac{dQ^d}{dp} = -b < 0 $$

這確認了需求法則：價格上升時需求量下降。

對於非線性需求函數 $Q^d = ap^{-\varepsilon}$： $$ \frac{dQ^d}{dp} = -\varepsilon ap^{-\varepsilon-1} = -\varepsilon \frac{Q^d}{p} < 0 $$

其中 $\varepsilon > 0$ 為需求價格彈性。

生產函數的微分

Cobb-Douglas 生產函數 $Q = AK^{\alpha}L^{\beta}$：

對資本的邊際產品： $$ MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = \alpha AK^{\alpha-1}L^{\beta} = \alpha \frac{Q}{K} $$

對勞動的邊際產品： $$ MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = \beta AK^{\alpha}L^{\beta-1} = \beta \frac{Q}{L} $$

邊際分析

某公司的總成本函數為 $C(Q) = 100 + 10Q + 2Q^2$，需求函數為 $p = 50 - Q$。

求邊際成本函數 $MC(Q)$
求總收益函數 $R(Q)$ 和邊際收益函數 $MR(Q)$
找出利潤最大化的產量水準
計算最大利潤